爱因斯坦57关于布朗运动的理论第3-5部分
第三部分题为《由热运动引起的参数α的变化》，这一部分也是方程4的应用，不过不是第二部分简单应用场景的使用，而是研究目标深入了一层，探讨起了很大数目（n）的全同体系问题，根据方程4，在n个体系中在任意选定的时刻体系参数α处于α和α+dα之间的体系个数dn为方程8：
dn=je-（nΦ）/（rt）da=f（a）da
其中，dn是体系参数α处于α和α+dα之间的体系个数。
对提出方程8的目的和作用，爱因斯坦在论文中做了一段文字说明：“我们要用这个关系（注：方程8）来求由不规则的热过程所引起的参数α的不规则变化的量值。为此目的，我们用符号来表示：在时间间隔t内，在对应于势Φ的力同不规则的热过程的联合作用下，函数f(α)不起变化；这里的t表示如此短的时间，以致单个体系的α这个量的相应变化可以被看做是函数f(α)的自变数的无限小变化。”
这段说明指出了物理体系参数α的不规则变化由对应于势Φ的力和不规则的热过程两方面原因导致，而这一部分的目的求解的是不规则的热过程单方面导致参数α变化的幅度。
做了这段说明后，爱因斯坦对后文提到的坐标x进行了设定，从这里开始论文的思路进入凡人难解的阶段：“如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于α量的线段（注：即布朗运动中花粉移动距离），那么每一个体系都在这条直线上对应于一个点(α)。f(α)是体系点(α)在直线上的配置密度。在时间t内，这种体系点在一个方向上通过直线上的一个任意点(α0)的数目，同相反方向上通过的数目必定完全一样。”
这段设定提出了坐标x的含义，其坐标基本单位为“等于α量的线段”，物理体系则以点(α)的x坐标值来表示，f(α)则是点(α)在直线上的配置密度。最后一句话是一个物理体系平衡条件的设定，体系点在正反方向通过一个任意点的数目必定相等。
做了这几点设定后，爱因斯坦在论文中就进入了正式的理论推导阶段。首先，对应于势Φ的力引起的参数α量值变化△1为方程9：
Δ1=-bt·?Φ/?α
其中，b为体系关于α的迁移率，其值同α无关；此方程说明的是α的变化速度同作用力成比例，而同参数α的值无关。
单纯由于对应于势Φ的力引起，不考虑不规则的热过程的影响，在时间t内在负的方向通过任意点(α0)的体系点数目n1，根据方程9可得，其为方程10：
n1=-btf（α0）·（?Φ/?α）α=α0
考察了对应于势Φ的力对体系点的影响后，爱因斯坦又开始考察不规则的热过程的影响，并做出了进一步的参数设定：“进一步假设：一个体系的参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于△和△+d△之间的几率等于ψ(△)，此外ψ(△)=ψ(-△)，而ψ是同α无关的。”
因此，由于不规则的热过程，在时间t内，在正方向上通过任意点(α0)的体系点数目n2，根据方程8最右边可得，其为方程11：
n2=of（α0-Δ）·x（Δ）dΔ（积分上下限为∞和0）。
f（α0-Δ）表示体系点是从负方向朝着正方向通过任意点(α0)的。
在方程11这论文中首次以x（Δ）的形式出现了坐标x，前面只有那句“如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于α量的线段，那么每一个体系都在这条直线上对应于一个点(α)。”的文字说明。
在方程11的后面，爱因斯坦紧接着列出了ψ(Δ)同x（Δ）的关系式方程12：
oψ（Δ）dΔ=x（Δ）（积分上下限为∞和0）。
（注：ψ(Δ)为体系的参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于Δ和Δ+dΔ之间的几率。）
方程12的含义是体系参数α在时间t内由于不规则的热过程而经受的极小变化dΔ与其概率ψ(Δ)的积分就是考察的坐标轴上x（Δ），即体系点的变化量。
由于不规则的热过程，在时间t内，在负方向上通过任意点(α0)的体系点数目n3，根据方程8最右边可得，其为方程13：
n3=of（α0+Δ）·x（Δ）dΔ（积分上下限为∞和0）。
出于体系点配置密度函数f的不变性，有关系式14：-n1+n2-n3=0
将方程10、11和13代入，可得方程15：
b（?Φ/?α）α=α0·f（α0）t+1/2f′（α0）`Δ2=0
其中，`Δ2=oΔ2ψ(Δ)dΔ（积分上下限为+∞和-∞），此为关系式16。
关系式16表示在时间t内由不规则的热过程所引起的量α变化的平方的平均值，爱因斯坦在论文中通过一句话的过渡就直接给出了本部分最终的结论公式，即布朗运动的花粉运动公式17：“从这个关系式（注：关系式16），考虑到方程8，我们得到：√`Δ2=√（2rbtt/n）。”
之后，在一段给公式17的参数说明中，爱因斯坦结束了第三部分：“这里r是气体方程的常数(831x107)，n是每摩尔气体中实际分子的数目(大约为4x1023。注：1922年爱因斯坦推出了更准确的数字为656x1023)，b是体系关于参数α的迁移率，t是热力学温度，t是由于不规则的热过程所引起的α的变化所经历的时间。”
关于由关系式16到公式17的过渡：
因为oψ（Δ）dΔ=x（Δ），所以关系式16可变为`Δ2=oΔ2x（Δ），因为x（Δ）是体系点运动方向坐标轴的体系点坐标值，实际代表了体系点的个数，因此，其满足方程8的关系，即x（Δ）等价于方程8中的体系个数dn，这也是爱因斯坦在那句文字说明中提到“考虑到方程8”的原因。
因此，将方程8代入`Δ2=oΔ2x（Δ），将Δ看做方程8中的α，再积分就得出了公式17。其中势Φ由类似方程9：Δ1=-bt·?Φ/?α的关系给出。
限于目前的微积分水平，笔者暂时给出了下面不太严谨的推导：
给公式17的参数做了一段文字说明后，论文《关于布朗运动的理论》第三部分就结束了，第四部分题为《把推导出的方程应用于布朗运动》，剩下的这两部分不太涉及复杂的微积分运算，只是公式17的简单应用，但也能看出公式17威力的强大，不枉爱因斯坦一番理论推导和读者的一番烧脑。
在第四部分，爱因斯坦首先用公式17计算了一个悬浮在液体中的球形物体在时间t内在一定方向(坐标系的x轴方向)上所经历的平均位移，这个问题就是前一篇关于布朗运动的论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》所要解决的核心问题，现在利用公式17来解决，那感觉就像砍瓜切菜那么轻松愉快。
首先，根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质速度的公式为（本作《爱因斯坦40》中的公式11）：w=k/（6πkp）
其中w是单个悬浮粒子速度，k是作用在悬浮粒子上的力，k是液体的摩擦系数，p是悬浮粒子半径。
根据上述公式可得物理体系关于参数α的迁移率b为公式18：
b=1/（6πkp）
将公式18代入公式17即得悬浮球在x轴方向上的平均位移的值为公式19：
√`Δx2=√[rtt/（n·3πkp）]
公式17的应用场景一就此结束，轻松解决爱因斯坦1905年奇迹年的五大论文之一《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》的问题。
公式17的应用场景二为计算悬浮球在液体中绕它的直径作(无向位摩擦的)自由转动的平均转动值√`Δr2。
根据基尔霍夫《力学讲义》中计算悬浮质旋转角速度为公式20：
ψ=d/（8πkp3）
其中ψ是单个悬浮粒子旋转角速度，d是作用在悬浮粒子上的动量矩，是液体的摩擦系数，p是悬浮粒子半径。
根据上述公式可得体系关于参数α的迁移率b为公式21：
b=1/（8πkp3）
将公式21代入公式17即得悬浮球在液体中绕它的直径作(无向位摩擦的)自由转动的平均转动值√`Δr2为公式22：
√`Δr2=√[rtt/（n·4πkp3）]
对比公式19和公式22可知，由分子运动所引起的旋转运动（p3）随着p的增加而减少的程度要比平移运动（p2）快得多。
在论文中爱因斯坦拿实验数据代入了公式22得出了相应的理论计算值：“对于p=05以及17c的水，这公式（注：公式22）给出1秒钟内所经历的角平均大约是11“；在一小时内大约11′。对于p=05μ以及17c的水，对于t=1秒钟我们得到大约100角。”
后来在1909年，佩兰对根据爱因斯坦的公式代入最新的数据预测的结果作了实验检验，他用了直径约13μ的树脂粒子，它们包含有小的内含物，从而使他能够观察它们的旋转运动，他求得的实验值同爱因斯坦的公式预测的值符合得很好。
在第四部分的最后，爱因斯坦简略的提到了公式17[√`Δ2=√（2rbtt/n）]在其他方面可能的应用：“所推导出的这个关于√`Δ2的公式还可以用于别的情况。比如，要是用闭电路的电阻的倒数来代替b，那么这公式就表明在时间t内平均有多少电通过任何一个导体的横截面，这个关系式又是同那个关于长波长和高温的黑体辐射的极限定律有联系的。可是，既然我未能找到更多的可供实验验证的结果，所以在我看来，去讨论更多的特殊情况，那是无益的。”
展望了公式17应用前景广泛后，论文第四部分就正式结束了，第五部分题为《关于√`Δ2公式有效的极限》，这一部分讨论的是论文开始研究目的部分提出的第三点——理论推导可观测到布朗运动的时间下限。
首先物理体系参数α由于分子热运动的关系导致的平均变化速度为公式23：
√`Δ2/t=√[2rbt/（n·√t）]
在论文中对着公式23爱因斯坦给出了比较详细的文字说明：
“（参数α平均变化速度）对于无限小的时间间隔t就变成了无限大，这显然是不可能的，否则每个悬浮粒子都必须以无限大的瞬时速度在运动。这个缘由在于，在我们的推导中，我们暗中假定了：时间t内的现象过程必须被看做是同其紧接着的前面时间内的现象过程无关的事件。但是，所选取的时间t越短，这个假定就越难站得住脚。”
接着，爱因斯坦对上述的文字论断进行了理论说明：
设时间z=0时，变化速度的瞬时值为da/dt=β0；
设在时间z=0以后的某个时间间隔内，变化速度β不受不规则的热过程的影响，而仅仅取决于被动阻力(1/b)，则有关系式24：
-μ·dβ/dz=β/b
对于参数μ爱因斯坦给出了一段比较详细的文字说明：“这里，μ是由μ(β2/2)应该对应于变化速度β的能量这一规定来定义的。因此，比如在悬浮球的平移运动的情况下，μ(β2/2)就是球的动能连同被球带动的液体的动能。”
其实，简单说μ就是体系点的质量，β（时间z=0以后的某个时间间隔内变化速度）和β0（时间z=0时，变化速度的瞬时值）的关系为公式25：
Β=β0·e-z/（μb）
（注：根据关系式24积分可得公式25。）
在对公式25的两段文字评说中爱因斯坦正式结束了论文《关于布朗运动的理论》：
“由这一结果（注：公式25），我们可以断定：公式17[√`Δ2=√（2rbtt/n）]只是对于那些比μb大的时间间隔才能成立（注：此时β≦β0）。
对于直径为1μ和密度p=1的小物体，在室温的水中，公式17的有效性的下限大约是10-7秒；这个时间间隔的下限同小微粒半径的平方按比例而增大。无论对于粒子的平移运动还是对于粒子的旋转运动，都同样成立。”
爱因斯坦关于布朗运动的第二篇论文《关于布朗运动的理论》就此正式结束了，此篇论文从理论角度阐述布朗运动的结论公式17[√`Δ2=√（2rbtt/n）]比前一篇论文结论公式[lx=√`x2=√(2dt)]的适用性更广，通过确定物理体系关于参数α的迁移率b的不同表达式可以将公式17应用到不同的研究领域。
阿尔伯特·爱因斯坦的1905奇迹年第六篇论文《关于布朗运动的理论》于1905年12月19日被《物理学年鉴》收到，最终于1906年2月8日发表。