爱因斯坦90布朗运动的基本理论084
就在这段为入职中学还是大学、发明静电感应小机器和与保罗·哈比希特探讨螺旋桨飞行器等各种俗务缠身的时段，爱因斯坦的论文也写出了芸芸众生、普罗大众能看懂的水平，他以一篇真正通俗却也深刻的论文科普了一下他关于布朗运动的理论，这个领域此前在爱因斯坦的论文中也属于比较晦涩的部分。
1908年4月1日，《电化学与应用物理化学杂志》（《zeitschriftfurelektrocheieurdangewandtephysikalischecheie》）收到了爱因斯坦的这篇布朗运动第三论文，这篇论文属于大众喜闻乐见的类型，基本都能看懂，因为这篇论文的本意就是以简易的推导让化学家看懂布朗运动的理论阐述。不光我等众生感觉爱因斯坦的布朗运动理论阐述的晦涩，就是化学家也觉得不太好理解，因此这篇论文就应理查德·洛伦兹的建议而诞生了。
（注：理查德·洛伦兹，richardlorenz，1863年-1929年，瑞士联邦技术大学电化学和物理化学教授，不是提出洛伦兹变换和洛伦兹力的荷兰理论物理学家、1902年诺贝尔奖物理学奖获得者、数学家、经典电子论的创立者亨德里克·安东·洛伦兹。
1907年11月15日，理查德·洛伦兹给爱因斯坦写信，索要爱因斯坦关于布朗运动和热力学基础的论文。）
布朗运动第三论文题为《布朗运动的基本理论》，他的理论分析较前两篇布朗运动论文——1905年5月11日的布朗运动第一论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》和1905年12月19日的第二论文《关于布朗运动的理论》——那是通俗的多了，一个天上一个地下的差别不为过，通读一遍这篇第三论文基本就能看懂论文的意思。
在论文的研究背景和研究目的部分，爱因斯坦首先阐述了这篇论文的由来，应理查德·洛伦兹的建议给出更加通俗易懂的布朗运动简单理论：
“在一次谈话中，理查德·洛伦兹教授向我指出说，许多化学家将欢迎一种关于布朗运动的基本理论。作为对他的要求的响应，我在下面提出一种关于这一现象的简单理论。”
然后，爱因斯坦给出了研究的思路，一是通过稀溶液的渗透压和溶质迁移率来研究稀溶液的扩散过程：
“简而言之，思路如下：首先，我们考察在一种未离解的稀溶液中的扩散过程怎样依赖于溶液中渗透压的分布，以及怎样依赖于溶质相对于溶剂的迁移率。
对于溶质分子比溶剂分子更大的情形，我们得到了对扩散系数的一种表述，在其中，除了溶剂的黏滞性和溶质分子的直径之外，没有其他与溶剂性质有关的量出现。”
二是从分子热运动的随机性来计算分子的平均迁移量，前面两篇布朗运动论文最复杂的理论推导部分：
“然后，我们把扩散过程归因于溶质分子的随机运动，并找出了怎样从扩散系数来计算溶质分子的这些随机运动的平均量的方法。也就是说，按照上述结果，是从溶剂的黏滞性和溶质分子的大小来计算的。因而，由此得到的结果只对真正溶解的分子而不是对悬浮在液体中的任何微小粒子有效。”
论文正文共分3部分，第一部分题为《扩散与渗透压》，这部分的研究场景为设计了一个内含稀溶液的圆柱形容器，中间有一个可移动的半渗透壁，其面积被设定为单位面积，左右两部分溶液浓度不同，容器平放，其长度方向由左端到半渗透壁的距离为x，半渗透壁壁厚以dx表示，则渗透压力k=-dp/dx，其中，dp为渗透压。
溶质溶解在溶液中渗透压方程为p=rtv，其中，p是渗透压，r是热力学气体常数，t是热力学温度，v是每单位体积溶质的物质的量。
（注：渗透压方程1877年首先由荷兰化学家雅各布斯·亨里克斯·范托夫推导出。）
结合上面两个公式可得渗透压力k为公式1：
k=-rt·dv/dx。
接着，爱因斯坦又引用了基尔霍夫《力学讲义》中计算分子速度u的公式：
u=k/（6πηp）
其中，k是作用在单个分子上的力，u是分子运动速度，η是溶剂的粘滞系数或摩擦系数，p是分子半径。
而渗透压力k是作用在vn个分子上的力，则k=vnk，将其带入上面的公式可得公式2：
u=k/（6πηp·vn），
其中，n为阿伏伽德罗常数。
将公式1：k=-rt·dv/dx代入公式2，可得公式3：
uv=-rt/（6πηpn）·dv/dx
公式3左边为溶质浓度v和溶质仅通过扩散过程而被移动的速度u的乘积，这个乘积代表了经扩散每秒通过单位横截面积输运的溶质的量；
右边的dv/dx则为溶质的浓度梯度，因此，根据扩散系数d的定义（注：溶质扩散速率与浓度梯度dv/dx的比值）可知，其为公式4：
d=-rt/（6πηpn）。
论文第一部分就讲了这些内容，最终得出了扩散系数d的公式4。
这一部分的论述是前面研究背景和目的部分提及的研究思路一：通过稀溶液的渗透压和溶质迁移率来研究稀溶液的扩散过程。
其论证分析类似布朗运动第一论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》第三部分《悬浮小球的扩散理论》和第二论文《关于布朗运动的理论》第四部分《不离解的物质在溶液中的扩散》，属于比较好懂的部分。
爱因斯坦布朗运动理论阐述里最令人费解的是前面研究背景和目的部分提及的研究思路二：从分子热运动的随机性来计算分子的平均迁移量。
前面两篇布朗运动的论文对这一思考角度理论分析的很抽象，以溶质分子几率分布和抽象函数的方式分析的，比较晦涩，这篇布朗运动第三论文的突破就在这里，给分子热运动的随机性分析给出了一个简单数学的分析方式，比较容易理解，那个别致的均方位移Δ给出的逻辑也清晰化了，这一部分就是论文第二部分的内容了。
第二部分题为《扩散与分子的随机运动》，在这一部分以Δ代表溶质分子在短时间t内的平均位移。由于分子热运动的随机性，溶质分子正负方向运动几率对半，则左侧正向穿过界面e的溶质分子数为05v1Δ，右侧负向穿过界面e的溶质分子数为05v2Δ，则短时间t内穿过界面e的总溶质分子数为公式5：
05（v1-v2）Δ，
其中v1和v2是界面e两侧Δ距离内的溶质分子平均摩尔浓度，即e界面左侧距离05Δ和右侧距离05Δ处的溶质分子摩尔浓度。
由v1和v2可以计算溶质分子的浓度梯度dv/dx为：
（v2-v1）/Δ=dv/dx
以上述公式可得公式6：v1-v2=-Δ·dv/dx
将公式6代入公式5可得在时间t里通过e界面扩散的物质的量为公式7：
-05Δ2·dv/dx
则单位时间内通过e界面扩散的物质的量即为公式7除以时间t，为公式8：
-05（Δ2/t）·dv/dx
由此，根据扩散系数d的定义（注：溶质扩散速率与浓度梯度的比值）可知，其为公式9：
d=05（Δ2/t）
因此，溶质分子均方位移的别致公式10就此诞生了：
Δ=√（2dt）
这个公式10就是前两篇布朗运动论文里经过复杂抽象的理论分析得出的最终结论，与之相比，布朗运动第三论文这里的阐述那是清新多了，都有呼吸到大自然芳香青草味的感觉了。
第三部分题为《单个分子的运动布朗运动》，这一部主要就是公式的应用了，首先联立上述两个扩散系数d的公式4和公式9，即将公式4代入公式10中可得公式11：
Δ=√t·√[(rt/n·3πηp）]
（注：前两篇布朗运动论文中都有这个公式，本作《爱因斯坦40》中的公式24和《爱因斯坦57》中的公式19。）
在布朗运动第三论文这里爱因斯坦还给分子迁移的距离Δ正比于时间的平方根√t给了一定的文字说明：
“从这个公式中，我们看到，一个分子平均迁移的路程不是正比于时间，而是正比于时间的平方根。这是由于这样一个事实，即在两个相继的时间单位中迁移的路程并不总是相加，而时常是相减。”
将相关的数据代入公式11，爱因斯坦得出了室温下水中一个直径1μ的粒子1s在一个特定方向上在时间t=1时的平均迁移路程Δ=08μ；
室温下的糖分子在时间t=1时的平均迁移路程Δ=276μ
在论文的最后，爱因斯坦还利用公式计算了室温下离子在时间t=1时的平均迁移路程Δ，氢、钾和二异戊铵c10h24n的Δ分别为125μ、58μ和35μ。
布朗运动第三论文《布朗运动的基本理论》就此结束，此文于1908年4月1日投给了《电化学与应用物理化学杂志》，最终于4月24日发表。这篇论文最大的功绩是让更多的人看懂了溶质分子均方位移Δ的来源。