爱因斯坦122关于辐射场中一个振子的运动的统计考查108
同是1910年8月29日这天，《物理学年鉴》还收到了爱因斯坦和路德维希·霍普夫合作的另一篇论文，题为《关于辐射场中一个振子的运动的统计考查》，这篇论文是上一篇论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》的理论发展，前一篇论文证明的热辐射傅里叶级数系数的独立性是这一篇论文论证的一个条件，研究的依然是辐射问题，目的依然是寻找瑞利-金斯公式错误的根源。
论文《关于辐射场中一个振子的运动的统计考查》通过计算辐射压对振子的阻力和振子在辐射场中动量的起伏，采用能量均分定理而导出了瑞利-金斯公式，并最终论证瑞利-金斯公式的失败来自经典物理学给出的振子在辐射场中动量的起伏忽略了1909年1月23日《论辐射问题的现状》中最先提出的动量起伏的量子部分而导致的。
论文共分4节，第1节题为《思路》，这一节首先指出有人把瑞利-金斯公式的失败归于能量的统计分布不能应用到辐射领域：
“现已用各种方式证明，而且已经普遍承认，一方面是电磁能量的分布和传播，另一方面是能量的统计分布，当把我们有关这二者的观点正确地应用于辐射理论时，就必然得到所谓的瑞利-金斯辐射定律。
既然这条定律是和实验完全矛盾的，那就有必要对推导该定律时所用理论的基础进行一种修订，而且人们已经常常猜测，统计的能量分布定律对辐射或对高速振动(谐振子)的应用并不是没有毛病的（注：意即统计的能量分布定律不能应用到对辐射或对高速振动谐振子中）。”
这篇论文的目的则是指出寻找瑞利-金斯公式失败的根源不能只追溯到能量的统计分布，而是起码要追溯到更底层的能量均分定理，虽然气体分子运动论证明了能量均分定理的正确性，但他并不适用于辐射领域，在分子层面可以成功应对的能量均分定理在辐射领域失效了，所以物理的基础理论需要重新考虑：
“现在，下面的考查将证明，这种有问题的应用（注：即人们怀疑的统计的能量分布定律）是完全不必要的，而且只对分子和振子的平移运动应用能量均分定理就足以得出瑞利-金斯辐射定律了。
定理对平移运动的应用，已由气体分子运动论的成功所适当地证实，因此我们可以得出结论说，只有我们基本观念的一种更激烈和更深刻的改变，才能导致和实验符合得较好的辐射定律（注：此处还是否认能量均分定理可以应用到辐射领域的，论文最后的评判环节倒有认可的嫌疑，而只将瑞利-金斯公式的失败归为经典理论忽视了动量起伏的量子部分，而只有动量起伏的波动部分）。”
之后，论文给出了研究模型，一个活动的电磁振子，其只沿z方向进行振动和只沿x方向发生移动，振子一方面处于辐射场的影响下，另一方面和出现在被辐射所充满的空间中的那些分子发生相互作用。
因为电磁振子处于活动平衡的状态，因此，辐射场引起的振子动量起伏和空间中的分子热运动引起的动量起伏一致。
分子热运动引起的动量起伏由统计力学确定，即由能量均分定理确定；而辐射场引起的振子动量起伏则是论文此次重点推导的对象。
论文将辐射场引起的振子动力学效应分为两种：
一是，辐射压p反抗振子直线运动的阻力k，其引起的动量起伏为-put，其中u是振子运动速度，t是时间；
二是，由于带电物体的运动而在无序辐射场中引起的电磁动量的起伏Δ：
“这些起伏既可为正也可为负，而且(在一级近似下)是和振子处于运动中这一情况无关的。”
振子在辐射场的单一影响下所取动量的平均平方值（u）2在t=0和t=t时相同，根据上面两种辐射场引起的振子动力学效应的划分，其即为方程1：
（u）t=02=（ut=0+Δ-put）2
将方程1右边的平方展开，并做一定的简化处理：
“通过增大，我们永远可以做到使出现在方程(1)右端的乘有t2的一项成为可忽略的。再者，乘有uΔ的一项为零，因为u和Δ可以完全独立地为正或为负。”
即可得方程1a：
`Δ2=2pt·u2
根据气体分子运动论和能量均分定理，即前面电磁振子模型中提到得分子热运动引起的动量起伏，可得振子动能为方程2：
u2=rq/n
（注：方程2代表的就是能量均分定理。也是辐射公式失败的根源，其代表能量的连续性。）
其中，r是绝对气体常数，n是阿伏伽德罗常数，q是温度。
将方程2带入方程1a，即得方程3：
`Δ2=2rpqt/n
论文剩下的工作就是通过理论来计算出方程3的左右两项的`Δ2和p，即辐射场引起的振子的两种动力学效应，将其带入方程3，便能得出辐射定律——导致紫外灾难的瑞利-金斯公式：
“于是，我们只须利用电磁论证来求出`Δ2和p(或`k)，而方程就将给出辐射定律。”
第2节题为《力`k的计算》，这一节分两步计算了辐射场引起的振子动力学效应之一的辐射压p反抗振子直线运动的阻力k，即方程3的右边。
先计算辐射场对静止振子的有质动力，然后利用狭义相对论的洛伦兹变换，通过静系动系的坐标变换计算出辐射场对运动振子的有质动力，即辐射压p反抗振子直线运动的阻力k。
首先，本征频率为v0的振子沿着一个直角坐标系的z轴方向而自由振动，则振子的动量服从微分方程4（普朗克论证的）：
16π4v03|+4π2v03|（上两点）-2s|（上三点）=3sc3·ez
其中，e代表电力，h代表磁力，s代表一个常量，表征着振子通过辐射的发射而受到的阻尼。
设有一个平面波射在振子上，射线和z轴夹角为j，在xy平面上的投影和x轴夹角为w，平面波由偏振互相垂直的两个波组成，第一个波的电力位于射线-振子平面之内，第二个波的电力和第一个波的电力相垂直，则只有第一个波才会传给振子某一动量，而第一个波的电力以傅里叶级数方程5来表达：
e=Σ（n）an·s{2πn/t·[t-（αx+βy+γz）/c]-θn}
其中，t代表很长的一段时间；射线的方向余弦分别为α、β和γ，其为α=sjsw，β=sjsw，γ=sj。
与此振子计算有关的电力分量和磁力分量为方程6：
ex=e·sjsw，
ez=-e·sj，
hy=e·sjsw。
作用在静止振子上的有质动力为方程7：
k=|·?e/?z+1/c·[h·d|/dt]
有质动力的x分量为方程7a：
kx=|·?ex/?z-1/c·[hy·d|/dt]
以方程5和方程6为条件，求解方程4得|为方程7b：
|=-3c3/16π3·t3·sj·Σan·sγn/n3·s（tn-γn），
|=3c3/8π2·t2·sj·Σan·sγn/n2·s（tn-γn）
其中，
，
，
tn=2πn·t/t-θn，
tgγn=πv0（v02-n2/t2）/s·n3/t3，
?ex/?z=2π/ct·s2j·swΣnan·s2tn。
由此，有质动力的x分量方程7可表示为二重和式方程7c：
kx=-3c2/8π·t2·s2jsjswΣnΣ[an·sγn/n3·a··s（tn-γn）st]-3c2/8π·t2·sjswΣnΣ[an·sγn/n2·a·s（tn-γn）st]
同时，由上一篇论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》证明的热辐射傅里叶级数系数独立可知各q角的周相是相互独立的，所以在求平均值时只要考虑n=的项就行了，如此，由方程7c就可得出沿方向j、w入射的波作用在静止振子上的x分力的平均值为方程7d：
`kx=3c2/16π2·t2·s3jswΣnan2·sγn/n2=3c2/16π2·`a2v0t·t·s/2v0·s3jsw
第一步计算辐射场对静止振子的有质动力就此结束，下一步就是利用狭义相对论的洛伦兹变换，通过静系动系的坐标变换计算出辐射场对运动振子的有质动力。
上接首先的静止振子场景，其次的运动振子场景为振子以速度u沿x方向运动的，射线和x轴的夹角为j1，在yz平面上的投影和y轴之间的夹角为wl来，他们与上一场景的j和w的关系为方程8：
sj1=sjsw，
sj1sw1=sjsw，
sj1sw1=sj
静系动系的平面波参数关系为方程8a：
a′=a（1-u/c·sj1），
t′=t（1+u/c·sj1），
v′=v（1-u/c·sj1），
sj1′=（sj1-u/c）/（1-u/c·sj1），
w1′=w1
利用狭义相对论的洛伦兹变换处理方程7d可得作用在运动振子上的力`kx′为方程9：
`kx′=3c2/16π2·`a′2v0′t′·t′·s/2v0′·（1-s2j1′s2w1′）sj1′
略去（u/c）2项，有方程9a：
`a′2v0′t′=`a2v0t·（1-2u/c·sj1）
为了把任何的量都和运动振子的固有频率v0′联系起来，方程9a可变为方程9b：
`a′2v0′t′=`a′2v0′·（1+u/c·sj1）t（1-2u/c·sj1）={`a′2v0′t+v0′·u/c·sj1·（`d`a2/dv）v0t}·（1-2u/c·sj1）
因为给定方向射来的平面波的平均能量a2v0t·t等于立体角为dk的一个锥体中的能量密度pv0·dk，即a2v0t·t=pv0·dk，同时，磁力和电力是相等的，并考虑到两个偏振面，则有关系式9c：
p·dk=1/8π·a2t/2·2·2
如此，作用在运动振子上的力`kx′方程9可写为方程9d：
`kx′=3c2/16π2·s/2v0′·{pv0′+v0′·u/c·sj1·（dp/dv）v0′}（sj1-u/c）[1-s2j1/（1-2u/c·sj1）·s2w1]dk
将方程9d按所有的立体角求积分便得辐射压p反抗振子直线运动的阻力k为方程9e：
`k=-3cs/10πv0′·u[pv0′-v0′/3·（dp/dv）v0′]
第3节题为《动量起伏`Δ2的计算》，这一节计算了辐射场引起的振子动力学效应之一的由于带电物体的运动而在无序辐射场中引起的电磁动量的起伏Δ，即方程3的左边。
首先，由于辐射过程的无规性而引起的具有不同正负号的动量可以针对一个静止振子来确定，而不用考虑运动振子的情况。只需把原点上的电力和磁力展成只依赖于时间的傅里叶级数就行了。
振子在时间t内所接受到的沿x方向的动量j是方程10：
j=∫（t，0）kx·dt=∫（t，0）（?ex/?z·|-1/c·hy·d|/dt）d
其中，磁力hy部分的分部积分为方程10a：
∫（t，0）hy·d|/dt=hy·|（t，0）-∫（t，0）?hy/?t·|·d
如果t足够大，则第一项被加式为零，同时，按麦克斯韦方程有方程10b：
1/c·?hy/?t=?ez/?x-?ex/?z
将方程10a和方程10b带入方程10，则可得方程10c：
j=∫（t，0）?ex/?x·|·d
其中，方程10c各参数可以傅里叶级数表达，其为关系式10d：
ez=Σ（）bn·s[2πn（t/t）-θn]，
?ez/?z=Σ（n）·s[2π（t/t）-ξ]，
|=3c3/16π3·t3·Σ（n）bn·sγn/n3·s[2πn（t/t）-θn-γn]
将关系式10d带入方程10c可得方程10e：
j=3c3/16π3·t3·∫（t，0）dtΣ（）`Σ（n）·bn·sγn/n3·s[2π（n+）（t/t）-ξ-θn-γn]-s[2π（n-）t+ξ-θn-γn]
方程10e按t求积分就得到带有因子1/n+和1/n-的两个被加式，又因为n和是很大的数，第一个被加式就很小就可以略去，于是方程10e变为方程10f：
j=-3c3/32π4·t4·Σ（）Σ（n）·bn·sγn/n3·1/（n-）·sδn·sπ（n-）·t/
其中，
δn=π（n-）·t/t+ξ-θn-γn
由此，j2显现为按n，以及另外两个变数n′，′求的四重和式，如果计算平均值`j2，就必须照顾到各角δn和δ′n′是完全相互独立的这一事实，从而在平均时只须考虑这种独立性并不出现的那些项，即=′和n=n′的情况，如此，动量平方平均值`j2即为方程11：
`j2=（3c3·t4/32π4）2Σ（）Σ（n）·1/2·2·bn2·（sγn/n3）2·1/（n-）2·s2π（n-）·t/
方程11的分部求和为方程11a：
Σ（）1/（n-）2·s2π（n-）·t/t=1/t·∫（∞，0）1/（v-μ）2·s2π（v-μ）·t·dμ=π2·t/
和
Σ（n）（sγn/n3）2=1/t5·∫（∞，0）sγn/v6·dv=1/t5·σ/2v05
将方程11a带入方程11，即得方程11b：
`j2=（3c3/32π3）2·σt/2v05·`bv0·t2·`cv0·t2·t2
之后，论文里列出了关系式11c：
`j2=（`j+`Δ）2=`j2+2`j`Δ+`Δ2
接着便解释说因为平均值`j`和Δ都为零，所以方程11b本身就给出了动量起伏`Δ2的值，即方程11b右边的算式给出的就是动量起伏`Δ2。
（笔者认为关系式11c左右两边的j少写了下标，没做区分，第一个j为j2，是振子受力作用后的动量；后面为j1，是振子受力作用前的动量，j1+Δ才是j2。
而除了方程11c里的j，其他地方的j都是动量起伏，即为Δ，因为根据方程10，力与时间的积分本就是动量变化，即为动量起伏Δ。）
某一特定方向的辐射的振幅bv0·t和平面波振幅av0·t关系为方程12：
bv0·t=Σav0·t·sj
方程12对一切入射角求和，得方程12a：
`bv0·t2·t=`av0·t2·tΣs2j=8/3·π·pv0
同理可得方程12b：
`cv0·t2·t=（2πv/c）2·`av0·t2·tΣs4js2w=64/15·π3v02/c2·pv0
将方程12a和12b带入方程11b（最左边的`j2=即为`Δ2），即得动量起伏`Δ2方程13：
`Δ2=c4σt/40π2v03·pv02
第4节题为《辐射定律》，这一节最终推导出了瑞利-金斯公式，将第2节最后的方程9e和第3节最后的方程13带入第1节最后的方程3，可得微分方程14：
c3n/24πrqv2·p2=p-v/3·dp/dv
微分方程14积分即得瑞利-金斯公式，方程15：
p=8πrqv2/c3n
之后，爱因斯坦和路德维希·霍普夫就上述推导的过程和结果进行了评价，指出普朗克把瑞利-金斯公式的失败归于统计分析应用于辐射领域是不对的，而他们认为瑞利-金斯公式的失败的根源是经典理论丢掉了爱因斯坦1909年1月23日《论辐射问题的现状》中最先提出的动量起伏的量子部分。
当然，这篇论文中爱因斯坦有错认能量均分定理可以应用到辐射领域的瑕疵，拿气体分子运动论的成功来佐证能量均分定理的正确性，而这在爱因斯坦1906年3月13日的论文《关于光产生和光吸收的理论》、1906年11月9日的论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》和1910年5月7日的论文《论光量子理论和电磁能的定域化问题》里已经否定了能量均分定理的e=rt/n可以应用到辐射领域的：
“这（方程15）就是著名的瑞利辐射定律，它是和实验有显著的矛盾的。因此，在我们推导的基础中一定包含了某种和热辐射中真正发生着的事物不相符合的认定。
因此现在让我们对这种基础进行一番更细致的批判性的检验。
人们曾经想要找出原因，以知道为什么当把辐射理论领域中的一切精确的统计分析应用于辐射本身时会导致瑞利定律。普朗克不无根据地提出了这一论点来反对金斯的推导。
然而，在以上的推导中，根本就不存在什么稍微任意地把统计考虑搬用到辐射上的任何问题；能量均分定理是只对振子的平移运动应用的。但是气体分子运动论的成就已经证实这一定理可以认为是已对平移运动完全证明了的（注：错认能量均分定理可以应用到辐射领域）。
因此，在我们的推导中用过的基础(它必然包含着某种无根据的假设)，只不过是支持着完全透明物体中的光色散理论的那一基础而已。
实际的现象之所以和可以由此基础推得的结果有所不同，是由于这样一件事实：在实际的现象中可以觉察到另外种类的动量起伏，而这些动量起伏在低密度短波辐射的事例中会大大超过由理论求得的动量起伏。
（注：低密度短波辐射就是1905年3月17日光量子论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》中提出光量子论的依据公式维恩辐射公式的应用范围。
另外种类的动量起伏则是1909年1月23日《论辐射问题的现状》中开始提出的观点，爱因斯坦后续的通信和演讲中也多有涉及。）”
另外，瑞利-金斯公式原本的推导过程和此文中爱因斯坦推导的过程不一样，其为：
考虑一个体积为v的空腔，腔壁温度为t，腔内真空，由于腔壁在任何温度下都辐射电磁波，因此腔内就建立了一电磁场，并且腔壁同电磁场将达到平衡。这个辐射场可以分解为一系列单色平面波的叠加，也可以看作是一个由许多振子组成的系统。
瑞利和金斯求出在频率间隔v～v+dv内本征振动的个数为公式1：
2x4πv2v/c3·dv
其中因子2是由于每一频率v对应于偏振面互相垂直的两个波的缘故。
根据经典能量均分定理，每个振动自由度的平均能量为kt，当然每一个平面波也具有kt的平均能量。
所以将式公式1乘以kt，并用体积v除，就得到频率v～v+dv之间、单位体积的能量表示式，即式2：
w（v，t）dv=8πv2/c3·kt·dv
也可将式2换为按波长的分布公式3：
w（v，l）dl=8πkt/l4·dl
这篇通过计算辐射压对振子的阻力和振子在辐射场中动量的起伏，采用能量均分定理而导出了瑞利-金斯公式的论文《关于辐射场中一个振子的运动的统计考查》由爱因斯坦和路德维希·霍普夫（dwighopf，1884年-1939年）合著，《物理学年鉴》1910年8月29日收到，最终于12月20日发表。