爱因斯坦78与维恩讨论超光速2-6
发出第一封超光速信件后仅仅两天，7月25日，爱因斯坦又给威廉·维恩发出了第二份超光速信件，这封信主要是正式肯定了第一封信最后提出的从折射率角度考虑超光速也不可能的论断。
在信中爱因斯坦首先论证了上封信提及的公式l·dn/dl≤n-1必定成立，其次，更正了上封信最后提到的“对于比它还大的l，不存在任何在这种物体中传播的波(n2<0)”的论断有误，应该是对于更大的l，折射率n<0：
“但是，v（注：等相面的传播速度）也可以是负的，也就是说，等相面也可以沿着与z轴的方向（注：指向媒质的方向）相反的方向运动。不过这时折射率必定也是负的。
……
因此，对于某个l来说n是负的，那么它对于每个更大的l也是负的，而它的绝对值将持续增加。”
在信的最后，爱因斯坦总结了当时的结论，虽然是阶段性的结论，后来还被放弃了：
“从而，我们方程的结果可以概括为：
如果某个l的n小于1，那么，随着l的增长，n首先趋近于零而没有极值；此后，n的绝对值又会再度增加，且这种增加是连续的。”
与威廉·维恩讨论超光速的第二封就此结束，紧接着四天后7月29日，爱因斯坦又给维恩发出了第三封讨论超光速的信，在这封信中爱因斯坦指出麦克斯韦方程暗含的信号以超光速传播不可能和维恩提及的群速度公式对于非吸收物体或区域成立都是正确的，但考虑到吸收物体或区域则维恩的群速度公式不正确：
“非常尊敬的教授先生！
真遗憾，我在以前的信中告诉您的所有结果几乎都太草率了，通过更仔细的检查，证明它们都是错的。事实上，惟一仍为正确的是，麦克斯韦理论排除了信号以超光速传播的可能性。对于非吸收物体或物体的非吸收区域而言，我认为，有关群速度的表达式也是正确的。
但是，如果吸收系数依赖于频率，那么总的来看对吸收物体而言要保留“群速度”这一概念是困难的。我的推论之所以有误，是因为我含蓄地假定振幅的传播定理必须用一阶微分方程来表述。
……
此外，由于根据维歇特（注：埃米尔·维歇特，eilwichert，1861年-1928年）的结论（注：超距作用以光速为传播速度），毫无疑问我们关于色散（注：复色光分解为单色光而形成光谱的现象）的电磁理论绝不可能得出光信号的传播速度会是超光速的
……
但愿您不会严重地误解我的“写信狂”。
谨致最崇高的敬意。您的
阿尔伯特·爱因斯坦”
经过一段时间的考虑，9天后8月7日，爱因斯坦给维恩回复了第四封超光速信件，在信中爱因斯坦认为自己在澄清问题方面已经取得了成功：
“非常尊敬的教授先生！
十分感谢您最近这封来信。现在我有两个星期的假期，我已经可以悠闲而平静地处理手头这个问题了，而且我认为，在澄清问题方面我现在已经取得了成功。”
在澄清超光速认识方面，爱因斯坦首先认为埃米尔·维歇特的超距作用以光速为传播速度的观点是正确的，这是对麦克斯韦理论正确的认识：
“首先，我不能同意您关于维歇特的方程的有效范围的主张。后者等价于麦克斯韦的两个方程体系（注：麦克斯韦方程组），通过这些方程，电力的旋度或磁力的旋度与磁通量或电流之间的关系分别联结了起来。因此，按照麦克斯韦理论，这些方程是绝对普遍有效的，而且，如果能把带电体在所有空间和所有时间的运动视作已知的，它们就可使对磁力和电力的计算成为可能。”
当然，对于麦克斯韦方程组为何不能适用于色散理论和快速运动的电子理论，爱因斯坦还有疑惑，对刚性电子为何会有超光速的可能，爱因斯坦给出了自己当时想到一个原因——电子某一体积单元起作用的电力会影响其他体积单元的运动：
“因而我不明白为什么(除非是出于某些权宜之计)，它们不应当用于色散理论和有关以任意快的速度运动的电子理论。
麦克斯韦方程没有排除刚性电子以超光速运动的可能性，这一点并不能否定我的论证的正确性，按照这种论证，光信号是无法以超光速传播的。也就是说，这种论证只适用于这种情况：某一体积元中的带电体，除了该体积元中的电磁场外不可能由任何其他原因使其运动，而对于刚性电子来说，刚性键也被设想为是运动的原因。由于电子带电体之间有刚性键，因此，在这个电子的某一体积元中起作用的电力，也有可能作为位于同一电子其他体积元中的带电体的直接动因。因而我的论证在这里站不住脚。”
然后，爱因斯坦再次强调了群速度公式只适用于非吸收体，而只要假定不同的体积元中的带电体不会通过电磁力以外的力彼此相互影响，则不会有超光速情况的出现：
“另外，现在我确实认识到，您所给出的、并被我最初由于不正确的论证而接受下来的群速度的表达式，肯定只适用于不吸收体。……
有鉴于此，根据维歇特的结果和我在第一封信中所提出的简单论证，只要不假定不同的体积元中的带电体也会通过电磁力以外的力彼此相互影响（注：即不同的体积元中的带电体不会通过电磁力以外的力彼此相互影响），那么在我看来，光信号在任何媒质中具有超光速的传播速度都是与麦克斯韦理论不相容的（注：即根据麦克斯韦方程不会有超光速）。以色散的电磁理论为基础对这个问题作更详细的分析，也不可能产生会与一般的分析相矛盾的结果。
谨致最良好的问候。您的忠实的
阿尔伯特·爱因斯坦”
4天后，8月11日，爱因斯坦给维恩回复了第五封超光速信件，在信中爱因斯坦承认了维恩群速度计算结果的正确性，但指出那不是信号传播速度：
“非常尊敬的教授先生：
来信收到，您在信中如此友好地把您的计算结果告诉了我。这个计算，原则上讲与我最初的计算是一致的。我对这个计算本身并无异议，而且也同意您从这个计算中得出的那些结论(直到这封信的结尾给出的对表达式v-l·dv/dl小小改正)；可是，以下这些似应予以注意。
您计算出的速度，实际上等于所考虑的波列振幅暂时的最大值和最小值予以传播的速度，因而是一种群速度，正如您注意到的那样，它在某种情况下是一种超光速。但是，一旦吸收变得显而易见，这种速度就不再具有一种信号速度的特性。”
接着，爱因斯坦并在信中向维恩详细的解释了自己对信号速度的定义：
“我所理解的信号速度如下。如果在位置a一开始是闭合的快门从时间t0起打开，且第一道光通过此快门到达b的时间为t1，那么我所理解的信号速度就是这样一个量（距离a-b）/（t1-t0），这个量事关重大；根据相对论(更一般地说，根据麦克斯韦理论)可以得出，这个量不可能是超光速。一旦吸收存在(更确切地说，如果dk=k1-k2≠0)（注：k是媒介的吸收系数），从刚才定义的意义上讲，您的群速度就不能被看做是一种信号速度。”
然后，爱因斯坦以横坐标上半部的半波形曲线的形式向维恩解释了何为信号和非信号：x=0和x=l时半波形与横坐标轴相切、纵坐标都为0点，即k1-k2=0的半波形情况为信号；而x=0时半波形与横坐轴相切、纵坐标为0点，x=l时半波形与横坐轴不相切，纵坐标不为0点，即k1-k2≠0的半波形情况不能作为信号。
信号半波形非信号半波形
在信的最后，爱因斯坦还构造了一种相对于吸收媒质而言的信号速度公式：“也可以构造这样一个过程，由它可以推测一种相对于吸收媒质而言的信号速度。只需要构造这样一个波列，它显示出一平面沿光的传播方向运动，在运动中光矢量的振幅始终为零。”
一番理论推导下，爱因斯坦给出了相对于吸收媒质而言的信号速度公式1：
1/Φ=y′（w-jβ）=d（wn）/dw
其中，Φ是信号速度。
对于不吸收物质，n是折射率，则公式1便化为公式2：
Φ=v-l·dv/dl+具有dv/dl的更高幂的项。
也就是v/Φ=1+（l/v）·dv/dl。
之后，爱因斯坦就以写信的惯用语结束了第五封信：
“谨致问候。您的忠实的
阿尔伯特·爱因斯坦”
1907年8月16日星期五，在与维恩超光速讨论接近尾声之际，爱因斯坦向哈比希特兄弟祝贺了小机器初期进展顺利：
“亲爱的哈比希特兄弟：
对你们动手制作这台小机器的速度我着实吃惊不小。我星期天到你们那里去。
盼望着再次见到你们。你们的
阿尔伯特·爱因斯坦”
8月26日，在两周假期的尾声，爱因斯坦向维恩发了这一时期最后一封讨论超光速的信件，在信中爱因斯坦再次强调了信号速度和群速度的区别，并收回了自己上封信对信号速度的推导，认为其违反了“磁力的连续性条件”：
“非常尊敬的教授先生！
当然，我完全同意您所说的根据信号速度和群速度，人们就能理解他所要理解的一切。我现在把按照相对论理论不能超过真空中光速的那种速度称作“信号速度”。这是一种用以传播一次性(即不能有规则地重复出现的)作用的速度，这种作用尚未被过去的电动力学方法所确定；因此，我们这里要讨论的就是这样一种作用的传播，人们能够比如说用它来传送某种任意的信号。
您的分析中的那种最小振幅的传播速度不是一种“信号速度”，因为按照您的推导，这种速度涉及某种周期性过程(周期性振幅变化，而不是最一般的那种振幅变化)。此外，我必须收回我自己对信号速度的推导。因为如果我——像我在上封信中解释的那样——设光矢量位于以速度v传播的平面的另一侧，而在这另一侧振幅变为零，如果我设光矢量变为零，我就违背了磁力的连续性条件。因此在我看来，需要用傅立叶积分法进行处理。”
然后，爱因斯坦又强调了对埃米尔·维歇特的超距作用以光速为传播速度的观点的理解问题：
“关于运用维歇特的结果，我们之间似乎有一种误会，现在我试图来澄清一下。我是根据纯麦克斯韦理论来理解这些关系的：
电流=旋度h
-dh/dt=旋度e
这些关系尚未确定任何物质过程，因为它们需要关于带电体的运动以何种方式进行的补充规定。
我并没有断言，无论怎么作出这些规定，超光速传播都不可能存在。我只是断定，以下是从前所作论证的一个推论：如果上述规定表述为，某一给定位置的电流只能被在同一空间位置的电磁场所感生，那么，没有任何信号能具有超光速。
因此，纯麦克斯韦理论并没有排除超光速传播的可能性(索末菲，刚性电子。阿诺德·约翰内斯·威廉·索末菲，1868年12月5日—1951年4月26日，出生于东普鲁士柯尼斯堡，物理学家，英国皇家学会院士，美国国家科学院外籍院士，生前是慕尼黑大学理论物理学教授)；在这里上面的条件只是没有得到满足。
不过，色散理论满足不了所提到的条件。因此我的论证在这里可以适用，由此肯定会得出这样的结论：超光速是不可能的。
谨致敬意。
阿尔伯特·爱因斯坦”
至此，爱因斯坦与威廉·维恩对群速度中出现超光速问题的讨论就告一段落了。
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